動的イベント・ツリーGFESの機能

事象間の従属性の取り扱い方法

(1) 事象 A、Bがこの順でイベント・ツリーのヘディングとなっている時。

　Ａ〜Ｂ間の従属性を、Ｂの条件付き発生確率 P(B/A)= r_１で与える事とする。

(2) ３個の事象間に従属性があり A、B、C がこの順でイベント・ツリーのヘディングとなっている時。

　　　　　　　　　　　　　 A　 　　　　　B　 　 C

３個の事象より構成されているイベント・ツリーを考え、各シーケンスの発生確率を条件付き確率であらわすと図右端の式となる。　Ｂ、Ｃそれぞれの条件付き発生確率をP(B/A)= r_１、P(C/B)= r_２で与える事とする。また、Ａ、Ｂ、Ｃの発生確率値 P(A)、P(B)、P(C) を a、b、c とすると、ar_１ はＡとＢが同時に発生する確率となる。この中には共通原因により同時に発生した場合と独立事象がたまたま同時に発生した場合が含まれるが、それらをまとめて扱う。

　r_１、r_２は０〜1.0　の間の値を基本的には取り得る。r_１=bの時は完全独立を意味する事となる。0≦r_１＜bの時は負の相関があることとなる。さらに事象Bの発生は全シーケンス合計で確率bとなっているため、r_１≦b/a の条件を満たす必要が出てくる。

　ここで、各シーケンスの発生確率をa、b、c、r_１、r_２ を用いて表現してみよう。（但しAをAの補集合と表記することとする）

P(B) = P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A) の関係式より、       　　　
P(B/A)= 1/ P(A) x { P(B) - P(A)P(B/A) } = 1/(1-a)・(b - a r_１).

P(B/A) + P(B/A) = 1.0　の関係式より、         P(B/A) = 1.0 - P(B/A) = 1.0 - r_１

P(B/A) + P(B/A) = 1.0　の関係式より、 　     P(B/A) = 1.0 - P(B/A) = 1.0 - 1/(1-a)・ ( b - a r_１ ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 1/(1-a)・ ( 1 - a - b + a r_１ )   となる。

上式を用いて図中のシーケンス�@〜�Cの発生確率を表現すると、
�@ =   1 - a - b + a r_１
�A =   b - a r_１
�B =   a( 1.0 - r_１)
�C =   a r_１　　　　　　　　　　　　となる。

 事象Ｂ、Ｃ間の従属性についてもb、c、r₂ を用いて表現すると以下の様になる。
P(C/B) = r₂  、　P(C/B) = 1/(1-b) ・ ( c - b r₂ )　、
P(C/B) = 1.0 - r₂ 、 P(C/B) = 1/(1-b) ・ ( 1 - b - c + b r₂ )

　これらの表現を用いるとシーケンス(1)〜(8)も同様に求められる。特に、シーケンス (2)+(4)+(6)+(8) を計算してみると(2)+(4)+(6)+(8)   = (1-a-b+ar₁)・1/(1-b)・(c-br₂) + (b-ar₁)・r₂ + a(1-r₁)・1/(1-b)・(c-br₂) + a r_１ r₂
          　　　　　   = (1-b)x1/(1-b)( c - b r₂ ) + b r_２ - ar_１r₂ +  a r_１r₂　= c - b r₂ +  b r₂  =  c

と事象Ｃの全発生確率cとなっている。

(3) 事象ＢとＣの出現順序が入れ替わった場合。

　B〜C間の従属性の関係を与える条件付き確率P(C/B)をP(B/C)に置き換えて表現する。その場合、   P(B/C)=P(C/B)P(B)/P(C)=r₂・b/c　の関係式によりP(B/C)の数値を求める。

(4) 一般的表現。

　事象Ｘと従属関係にあるn個の事象A1,A2,...An とが同時に発生する確率 P(X,A1,A2,...An) は以下の関係式より求められる。

　P(X,A1,A2,...An) = P(X)・P(A1,A2,...An/X) = P(X)・P(A1/X)・P(A2/X)...P(An/X)
　　　                     = P(X)・P(A1)P(X/A1)/P(X)・P(A2)P(X/A2)/P(X)...P(An)P(X/An)/P(X)
　　　                     = P(A1)P(A2)...P(An)・P(X/A1)P(X/A2)...P(X/An)/P(X)^n-1

ここで、　Ｐ（Ｘ/Ａｎ）＝r_ｎ,　 P(X)= x,  P(An)= a_nと表すと、
　　　　  P(X,A1,A2,...An) = a₁a₂ ....a_n ・r_１r_２....r_ｎ /x^n-1 となる。

同様にして、
P(X,A1,A2,...An)   = P(X)・P(A1,A2,...An/X) = P(X)・P(A1/X)・P(A2/X)...P(An/X)
　　                     = P(X)・P(A1)P(X/A1)/P(X)・P(A2)P(X/A2)/P(X)...P(An)P(X/An)/P(X)
　　                     = P(A1)P(A2)...P(An)・P(X/A1)P(X/A2)...P(X/An)/P(X)^n-1
               　　      = a₁a₂ ....a_n ・(1-r_１)(1-r_２)....(1-r_ｎ)/(1-x)^n-1。

　複数の先行する事象と従属関係にある事象Xが発生する場合は、上式の関係を用いて、先行事象との同時発生確率を求める。事象Ｘの発生確率は　r_１r_２....r_ｎ /x^n-1となる。

　以上を要約すると、事象ＡとＸが従属関係にあり、Ｐ（Ｘ/A）＝r　と与えられているとき、イベント・ツリー中において事象Ａが発生したシーケンスの下流に位置する事象Ｘの発生確率は　r　で与えられる。　一方、事象Ａが発生しないシーケンスの下流に位置する事象Ｘの発生確率は　P(X/A) = 1/(1-a) ・ ( x - a r )  となる。

　複数の事象A1,A2,...An　とＸが従属関係にあり、Ｐ（Ｘ/Ａk）＝r_k  と与えられているとき、イベント・ツリー中において事象A1,A2,...Anが発生したシーケンスの下流に位置する事象Ｘの発生確率は　P(X/A1,A2,...An) =　r_１r_２....r_ｎ /x^n-1　で与えられる。

　事象A1,A2,...Anのうち特定の事象のみが発生したシーケンスの下流に位置する事象Ｘの発生確率は例えば
　P(X/A1, A2,A3... An) = r１・1/(1-a₂) ・ ( x - a₂ r₂ )・r₃....1/(1-a_n) ・ ( x - a_n r_n )/x^n-1　で与えられる。

　ＡｋとＸの発生順が逆になり、ＸがＡｋより先に発生する位置におかれた場合の条件付きAkの発生確率P(Ａｋ/X）は Ｐ（Ｘ/Ａk）＝r_k の値を用いて　P(Ａｋ/X）＝　r_k・ a_k/ｘ　と得られる。

この様に、従属関係は常に先行する事象が発生した場合の条件付き発生確率で与える事としている。

参考文献　T. Matsuoka,　“Development of Simulation and Visualization System for Understanding the Physical Phenomena of Accident Sequences in PSA“, Proceedings of International Topical Meeting, PSAM-IV（1998年9月）