G-typeの機器Cが複数のSS-type機器によるOR結合の支援を受けて運転する場合を検討してみよう。図に示す様に、SS-type 機器 A, B にはそれぞれ t1, t3 に起動指令機会が設定され、G-typeの機器 C には時刻 t2 に運転の開始指令機会が設定されているとする。 比較的単純なシステムであるが、支援機器の運転状態の履歴と機器 C の起動の時刻との関係で事象の組み合わせが多くなりやや複雑な結果となる。 ここでは簡単のため、各機器に各１回の起動指令機会が t1＜ t2＜ t3 の順に与えられている場合を検討する。 |
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時刻 t1 で機器Aが運転状態となる。 |
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| 時刻 t2 で機器Cに起動指令が与えられる。。 |
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| 表記 CO1(1;t2) は機器 C に第1回目の起動指令機会があった場合の時刻 t2 に於ける機器 C の全運転状態事象を意味する。何回の起動指令機会を経ているかを明確に示す表記法となっている。 時刻 ｔ３ で、機器 B に起動指令が与えられ運転状態となり、機器 C の支援を開始する。  |
ここで、C の運転状態事象の式の第2項は、既に A の支援で運転状態になっている機器に B の支援が加わった事象を表す。この式で下線は特に着目すべき部分であることを示しているが、数学的な意味は特には無い。時刻 t3 ではこの項は第１項の部分事象であるが、事象 A と B が互いに独立な事象であるため時刻 t3 以降では第2項は第1項に含まれない部分が出てくる。 |
| C の運転状態事象の式の第2項は、機器 A による支援のもとで起動し運転状態にある機器 C に新たに機器 B の支援が加わり機器 A の支援を引き継ぐ現象を表現している。この現象をここでは“Takeover” と呼び、Aio(τ3) を“Takeover Factor”と呼んでいる。機器 Ｃ の運転状態表現中で機器 Ｃ 以外の他機器からの支援部分に現れる変数 t をτ（新たな支援が与えられた時刻で固定したもの）に置き換えた部分が“Takeover
Factor”に相当している。 機器Cの起動開始は機器Bの起動開始に先立って行われており、後から運転状態になった機器により運転支援が行われている状態である。 図に示した構造でなくても、一般に運転状態にある機器 C に新たな支援が加わった場合 “Takeover”の現象が発生し得る。 |
| この“Takeover”の現象はループ運転が形成されるときに基本的な役割を果たしている。 |
Takeover 演算子の導入 Ｔａｋｅｏｖｅｒ の現象を分かり易く計算するためＴａｋｅｏｖｅｒ 演算子  を導入する。既に機器Ａ の支援で動作状態にある機器Ｃ の運転状態は |
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| であるが、これに新たに機器Ｂからの支援が加わるとＴａｋｅｏｖｅｒ の現象により新たな運転状態の項が付け加わる。この計算を形式的に実施するための演算子である。 |
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| 時刻 ｔ３ に新たに機器Ｂからの支援が機器Ｃの運転状態に対して加えられる。機器Ｃ を支援していた機器Ａ の役割を機器Ｂ が引き受けた項が生成される。その新たな運転状態は Ｂ と Ｃ の関数であり、もとの運転状態で機器Ｃ 以外の要素の変数 ｔ３ を τ３ に置き換えれば良いこととなる。 |
Takeover 演算子を用いた計算例 |
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| 上の図の結合で、σＡ，１ 、 σＢ，１ 、 σＡ，２ が t1＜ t2＜ t3 の順に与えられる場合を検討する。機器Ｂ が運転状態となっている場合に、新たに機器Ａ の２回目の起動による支援が加わったとき Ｔａｋｅover により新たな項ができるかどうか、計算してみる。 |
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| 機器Ａ の１回目の起動と２回目の起動は互いに重なりあう部分がない事象のため、Ｔａｋｅover により新たな運転状態は生成されることはないことがわかる。 |
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| 次に、上の図の結合で支援機器A,B にそれぞれ２回の起動機会がある場合を検討してみよう。時刻ｔ３ における機器C の運転状態は、 |
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| となっている。時刻ｔ４ での機器A からの追加支援によるTakeoverの項を計算すると次の様になる。 |
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| 従って、時刻ｔ４ における機器C の運転状態は、 |
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| となっている。 時刻ｔ５ での機器B からの追加支援によるTakeoverの項を計算すると次の様になる。 |
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| 最終的に機器C の運転状態は以下の式となる。 |
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